문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 레인-엠든 방정식 (문단 편집) == 상세 == 자체적인 중력을 가진 구형 천체에서 [[압력]] [math(P)]와 [[밀도]] [math(\rho)]는 다음과 같은 관계를 갖는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle P=K\rho^{1+1/n})] }}} 이를 '''지수 [math(\boldsymbol n)]의 다방체(polytrope of index n)'''이라고 부른다. * 여기에서 지수 [math(n)]은 천체의 유형에 따라 달라지는데 해당 천체 내에서 [[온도]] [math(T)]가 일정하면(isothermal) [math(n=\infty)], [[엔트로피]]가 일정하면(isentropic) [[비열(물리학)|비열]]의 비 [math(\gamma \equiv \frac{C_P}{C_V})]에 대해 [math(n=\frac{1}{\gamma-1})]으로 주어진다.[* [[엔트로피]]가 일정하려면 단열되어 있고(adiabatic), 느리게 변화하고(quasistatic), 가역인(reversible) 과정에 의해 변화하는 천체여야 하는데, 천체물리학적인 상황에서는 이 중 두번째와 세번째 조건은 보통 무시한다.][* 등엔트로피의 경우 [[자유도]] [math(f)]의 이상 기체는 [math(n=f/2)]를 갖는다. 단원자 기체의 경우 3차원 방향 3가지에 의해 [math(f=3)], [[표준 상태]]에서 이원자 기체의 경우 회전 방향 2가지가 더해져 [math(f=5)]다. 이원자 기체의 진동 방향 2가지는 에너지의 [[양자역학|양자화]]에 의해 고온에서만 활성화되기 때문. 같은 이유로 저온에서는 이원자 기체도 [math(f=3)]이다.] * 비례상수 [math(K)]는 주어진 [[온도]]에서는 압력과 밀도에 대해 일정하지만, 그 외의 경우에 대해서는 일정하다는 보장이 없다. * [math(K)]는 [[엔트로피]]가 서로 같은 천체들에 대해서는 같은 값을 가지지만 [[엔트로피]]가 서로 다른 천체들에 대해서는 서로 다른 값을 가진다. 전자의 예시로는 다양한 질량을 가진 [[백색왜성]]이 있고,[* [[찬드라세카르 한계]] 미만일 때는 [[전자]]가 비상대론적이기 때문에 [math(n=\frac{3}{2})], [[찬드라세카르 한계]]에 다다렀을 때는 전자가 [[특수 상대성 이론|상대론적]]이기 때문에 [math(n=3)]이다.] 후자의 예시로는 다양한 질량을 가진 [[주계열성]]이 있다.[* 모든 주계열성은 중심 온도가 비슷하다고 근사할 수 있는데, 이는 주계열성의 핵에서 일어나는 [[수소]] [[핵융합]] 반응은 [[온도]]의 4제곱~17제곱에 비례할 정도로 온도에 민감하기 때문이다.] * [[엔트로피]]가 일정한 천체에서는 [math(K)]가 온도 등과 무관한 완전한 상수지만, 지점에 따라 엔트로피가 다른 천체는 [math(K)]값도 각 지점의 온도에 따라 다르다. 온도가 일정한 경우를 제외한(즉 지수 [math(n)]이 [math(\infty)]가 아닌) 다방체에 대해서 정유체 평형을 가정하고 [[오일러 방정식#s-3]][*A 더 일반적인 [[나비에-스토크스 방정식]]에서 출발하더라도 정유체 평형을 가정하고 나면 같은 식을 얻는다.]과 [[중력#s-5|푸아송 방정식]]을 풀면 아래와 같은 이계 상미분방정식을 얻는데, 이것이 바로 레인-엠든 방정식이다. 온도가 일정한 경우에는 [[엠든-찬드라세카르 방정식]]을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0)] [br][math(\begin{aligned}\displaystyle \theta(0) &= 1\\\displaystyle \theta'(0) &= 0\end{aligned})] }}} * [math(\theta)]는 밀도 및 압력과 유관한 무차원 변수인데, 중심 밀도 [math(\rho_c)]에 대해 [math(\rho=\rho_c \theta^n)]이 성립한다. * [math(\xi)]는 0보다 같거나 큰 무차원 거리변수로, [math(r)]가 중심으로부터의 거리일 때 [math(\xi \equiv r \sqrt{\frac{4\pi G}{(n+1)K\rho^{1/n-1}_c}})]로 정의된다. 해당 천체의 반지름 [math(R)]는 [math(\theta=0)]을 만족시키는 가장 작은 [math(r)]의 값으로 정의된다. 이때 [math(n=0)]인 경우의 해는 [math(\theta=1-\xi^2/6)]으로 비압축성 천체(예: [[지구형 행성]])를 기술하고, [math(n=1)]인 경우의 해는 [math(\theta=\frac{\sin{\xi}}{\xi})]이다. [math(n=5)]의 경우인 [math(\theta=1/\sqrt{1+\xi^2/3})]은 아래의 [[https://en.wikipedia.org/wiki/Plummer_model|플러머 퍼텐셜]](Plummer potential) [math(\Phi)]에 대한 해로, [[구상성단]]이나 [[왜소은하]]를 질량은 유한하지만 반지름이 무한하다는 가정하에 기술하는 데에 쓰인다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \Phi = -\frac{GM_o}{\sqrt{r^2+a^2}})] }}} 여기에서 [math(M_o)]는 질량 차원의 상수, [math(a)]는 거리 차원의 상수다. 이외의 경우에서는 해석적인 해가 없기 때문에 수치적으로 풀어야 한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기